Matemática discreta Ejemplos

$6 x + 6 y + z = 60$ , $3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x + z = 60 - 6 y$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.1.2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = 60 - 6 y - z$

$3 x + 4 y + z = 42$

$6 x = 60 - 6 y - z$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2

Divide cada término en $6 x = 60 - 6 y - z$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $6 x = 60 - 6 y - z$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = \frac{60}{6} + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide $60$ por $6$ .

$x = 10 + \frac{- 6 y}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$x = 10 + \frac{6 (- y)}{6} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$x = 10 + \frac{6 (- y)}{6 (1)} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = 10 + \frac{6 (- y)}{6 \cdot 1} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 10 + \frac{- y}{1} + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3.1.2.2.4

Divide $- y$ por $1$ .

$x = 10 - y + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y + \frac{- z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 1.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$3 x + 4 y + z = 42$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 2.1

Simplifica $3 (10 - y - \frac{z}{6}) + 4 y + z$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 10 + 3 (- y) + 3 (- \frac{z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $10$ .

$30 + 3 (- y) + 3 (- \frac{z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$30 - 3 y + 3 (- \frac{z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{z}{6}$ al numerador.

$30 - 3 y + 3 (\frac{- z}{6}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.2.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$30 - 3 y + 3 (\frac{- z}{3 (2)}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$30 - 3 y + 3 (\frac{- z}{3 \cdot 2}) + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$30 - 3 y + \frac{- z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 - 3 y + \frac{- z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 - 3 y + \frac{- z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$30 - 3 y - \frac{z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 - 3 y - \frac{z}{2} + 4 y + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.2

Suma $- 3 y$ y $4 y$ .

$30 + y - \frac{z}{2} + z = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.3

Para escribir $z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$30 + y - \frac{z}{2} + z \cdot \frac{2}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.4

Combina $z$ y $\frac{2}{2}$ .

$30 + y - \frac{z}{2} + \frac{z \cdot 2}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 + y + \frac{- z + z \cdot 2}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.6

Suma $- z$ y $z \cdot 2$ .

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Paso 2.1.6.1

Reordena $z$ y $2$ .

$30 + y + \frac{- z + 2 \cdot z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.1.6.2

Suma $- z$ y $2 \cdot z$ .

$30 + y + \frac{z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 + y + \frac{z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$30 + y + \frac{z}{2} = 42$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Resta $30$ de ambos lados de la ecuación.

$y + \frac{z}{2} = 42 - 30$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.2.2

Resta $\frac{z}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 42 - 30 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 2.2.3

Resta $30$ de $42$ .

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = 10 - y - \frac{z}{6}$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Simplifica $10 - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$ .

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Paso 3.1.1

Obtén el denominador común

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Paso 3.1.1.1

Escribe $10$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x = \frac{10}{1} - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $\frac{10}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10}{1} \cdot \frac{6}{6} - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $\frac{10}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} - (12 - \frac{z}{2}) - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.1.4

Escribe $- (12 - \frac{z}{2})$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.1.5

Multiplica $\frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $\frac{- (12 - \frac{z}{2})}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6}{6} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{10 \cdot 6}{6} + \frac{- (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6}{6} - \frac{z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{10 \cdot 6 - (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $10$ por $6$ .

$x = \frac{60 - (12 - \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{60 + (- 1 \cdot 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$x = \frac{60 + (- 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.4

Multiplica $- - \frac{z}{2}$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{60 + (- 12 + 1 (\frac{z}{2})) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.4.2

Multiplica $\frac{z}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{60 + (- 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{60 + (- 12 + \frac{z}{2}) \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{60 - 12 \cdot 6 + \frac{z}{2} \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.6

Multiplica $- 12$ por $6$ .

$x = \frac{60 - 72 + \frac{z}{2} \cdot 6 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.7.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{60 - 72 + \frac{z}{2} \cdot (2 (3)) - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.7.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{60 - 72 + \frac{z}{2} \cdot (2 \cdot 3) - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.7.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{60 - 72 + z \cdot 3 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{60 - 72 + z \cdot 3 - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.3.8

Mueve $3$ a la izquierda de $z$ .

$x = \frac{60 - 72 + 3 z - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{60 - 72 + 3 z - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.4.1

Resta $72$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 + 3 z - z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.2

Resta $z$ de $3 z$ .

$x = \frac{- 12 + 2 z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.3

Cancela el factor común de $- 12 + 2 z$ y $6$ .

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Paso 3.1.4.3.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$x = \frac{2 \cdot - 6 + 2 z}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.3.2

Factoriza $2$ de $2 z$ .

$x = \frac{2 \cdot - 6 + 2 (z)}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.3.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 6 + 2 (z)$ .

$x = \frac{2 \cdot (- 6 + z)}{6}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.3.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot (- 6 + z)}{2 (3)}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.3.4.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot (- 6 + z)}{2 \cdot 3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.3.4.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{- 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = \frac{- 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.4

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $z$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- z)}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (6) - 1 (- z)$ .

$x = \frac{- 1 (6 - z)}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 3.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = 12 - \frac{z}{2}$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Reordena $12$ y $- \frac{z}{2}$ .

$y = - \frac{z}{2} + 12$

$x = - \frac{6 - z}{3}$

$y = - \frac{z}{2} + 12$

$x = - \frac{6 - z}{3}$